Estadística I
Clase 11: Momentos de Una Variable
¿Qué son los Momentos?
Son medidas que nos dan información sobre las características de un conjunto de datos.
Nos ayudan a entender dónde se concentran los datos, cuánto se dispersan y qué forma tienen.
Algunos son: la media, la varianza, la asimetría y la curtosis.
los momentos nos dan diferentes “perspectivas” de los datos, más allá del simple promedio.
El Primer Momento: La Media ( \(\bar{X}\) )
La media es el promedio de los datos. Nos dice dónde está el “centro” de nuestros valores.
\(xˉ=\frac{\sum_{i=1}^{n}}{n}=\frac{x1+x2+⋯+xn}{n}\)
Ejemplo : El salario promedio de los empleados de una empresa.
El Segundo Momento Central: La Varianza ( \(S^2\) )
La varianza mide cuánto se dispersan los datos alrededor de la media. Una varianza alta significa que los datos están muy dispersos; una varianza baja, que están más agrupados.
\(s^2=\frac{\sum_{i=1}^{n}(xi−\bar{x})^2}{n-1}\)
La desviación estándar (s) es la raíz cuadrada de la varianza y se interpreta más fácilmente.
\(s=\sqrt{s^2}\)
Ejemplo Varianza:
La varianza del rendimiento diario de las acciones indica qué tan volátil es el precio.
El Tercer Momento Central: Asimetría
La asimetría nos dice si la distribución de los datos es simétrica o si está “cargada” hacia un lado.
Asimetría positiva (sesgado a la derecha): La cola derecha es más larga.
Asimetría negativa (sesgado a la izquierda): La cola izquierda es más larga.
Asimetría cercana a cero: Distribución aproximadamente simétrica.
Coeficiente de Asimetría Muestral
El coeficiente de asimetría muestral ( \(A_s\) ) oscila entre -1 y 1
Su comportamiento, cuando la distribución está sesgada, está dado porque la media tienda a situarse con respecto a la moda al mismo lado que la cola más larga ubicarse
Cálculo de Coeficiente de Asimetría
Se puede calcular de distintas formas.
Primer coeficiente de Pearson
\(Sesgo=\frac{Media-Moda}{desviación\,típica}=\frac{\bar{X}-moda}{s}\)
Segundo coeficiente de Pearson
\(Sesgo = \frac{3(Media-Mediana)}{desviación\,típica}=\frac{3(\bar{X}-mediana)}{s}\)
En el segundo caso se omite el uso de la “moda”
Cálculo de Coeficiente de Asimetría /2
Coeficiente de Sesgo Cuartílico
\(Sesgo=\frac{(Q_3 - Q_2)-(Q_2-Q_1)}{Q_3-Q_1}= \frac{Q_3-2Q_2+Q_1}{Q_3-Q_1}\)
Coeficiente de Sesgo percentílico
\(Sesgo=\frac{(P_{90}-P_{50})- (P_{50}-P_{10})}{P_{90}-P_{10}}=\frac{P_{90}-2P_{50}+P_{10}}{P_{90}-P_{10}}\)
Ejemplo Asimetría:
La distribución de los ingresos en un país puede tener asimetría positiva si hay pocos individuos con ingresos muy altos.
El Cuarto Momento: Curtosis
La curtosis nos indica qué tan “puntiaguda” es la distribución y qué tan pesadas son sus “colas” (los extremos).
Leptocúrtica: Más puntiaguda y con colas más pesadas que una distribución normal.
Platicúrtica: Más achatada y con colas más ligeras que una distribución normal.
Mesocúrtica: Similar a una distribución normal.
El coeficiente de curtosis muestral (\(K_u\)) también se puede calcular. Próxima clase
Ejemplo Curtosis:
La rentabilidad de algunos activos financieros puede tener alta curtosis, lo que significa que ocurren eventos extremos (grandes ganancias o pérdidas) con más frecuencia de lo que se esperaría en una distribución normal.
Distribución Mesocúrtica
Distribución Leptocúrtica
Colas más pesadas y pico más alto
Distribución Platicúrtica
Resumen de los Momentos
| Momento | ¿Qué mide? |
| Media ( \(\bar{X}\) ) | El centro de los datos |
| Varianza ( \(s^2\) ) | La dispersión de los datos |
| Asimetría ( \(A_s\) ) | Si la distribución está sesgada hacia un lado |
| Curtosis ( \(K_u\) ) | El “apuntamiento” y el grosor de las colas |