Estadística I

Clase 11: Momentos de Una Variable

Autor/a
Afiliación

M.Sc. José Miguel Avendaño I.

Universidad Central de Venezuela- Escuela de Economía. 2025-1

Fecha de publicación

2 de noviembre de 2025

¿Qué son los Momentos?

  • Son medidas que nos dan información sobre las características de un conjunto de datos.

  • Nos ayudan a entender dónde se concentran los datos, cuánto se dispersan y qué forma tienen.

  • Algunos son: la media, la varianza, la asimetría y la curtosis.

los momentos nos dan diferentes “perspectivas” de los datos, más allá del simple promedio.

El Primer Momento: La Media ( \(\bar{X}\) )

La media es el promedio de los datos. Nos dice dónde está el “centro” de nuestros valores.

\(xˉ=\frac{\sum_{i=1}^{n}​}{n}​=\frac{x1​+x2​+⋯+xn}{n}\)

Ejemplo : El salario promedio de los empleados de una empresa.

El Segundo Momento Central: La Varianza ( \(S^2\) )

La varianza mide cuánto se dispersan los datos alrededor de la media. Una varianza alta significa que los datos están muy dispersos; una varianza baja, que están más agrupados.

\(s^2=\frac{\sum_{i=1}^{n}​(xi​−\bar{x})^2}{n-1}\)

La desviación estándar (s) es la raíz cuadrada de la varianza y se interpreta más fácilmente.

\(s=\sqrt{s^2}\)

Ejemplo Varianza: 

La varianza del rendimiento diario de las acciones indica qué tan volátil es el precio.

El Tercer Momento Central: Asimetría

La asimetría nos dice si la distribución de los datos es simétrica o si está “cargada” hacia un lado.

  • Asimetría positiva (sesgado a la derecha): La cola derecha es más larga.

  • Asimetría negativa (sesgado a la izquierda): La cola izquierda es más larga.

  • Asimetría cercana a cero: Distribución aproximadamente simétrica.

Coeficiente de Asimetría Muestral

El coeficiente de asimetría muestral  ( \(A_s\)​ ) oscila entre -1 y 1

Su comportamiento, cuando la distribución está sesgada, está dado porque la media tienda a situarse con respecto a la moda al mismo lado que la cola más larga ubicarse

Cálculo de Coeficiente de Asimetría

Se puede calcular de distintas formas.

  1. Primer coeficiente de Pearson

    \(Sesgo=​\frac{Media-Moda}{desviación\,típica}=​\frac{\bar{X}-moda}{s}\)

  2. Segundo coeficiente de Pearson

    \(Sesgo = ​\frac{3(Media-Mediana)}{desviación\,típica}=​\frac{3(\bar{X}-mediana)}{s}\)

    En el segundo caso se omite el uso de la “moda”

Cálculo de Coeficiente de Asimetría /2

  1. Coeficiente de Sesgo Cuartílico

    \(Sesgo=​\frac{(Q_3 - Q_2)-(Q_2-Q_1)}{Q_3-Q_1}= \frac{Q_3-2Q_2+Q_1}{Q_3-Q_1}\)

  2. Coeficiente de Sesgo percentílico

    \(Sesgo=​\frac{(P_{90}-P_{50})- (P_{50}-P_{10})}{P_{90}-P_{10}}=​\frac{P_{90}-2P_{50}+P_{10}}{P_{90}-P_{10}}\)

Ejemplo Asimetría: 

La distribución de los ingresos en un país puede tener asimetría positiva si hay pocos individuos con ingresos muy altos.

El Cuarto Momento: Curtosis

La curtosis nos indica qué tan “puntiaguda” es la distribución y qué tan pesadas son sus “colas” (los extremos).

  • Leptocúrtica: Más puntiaguda y con colas más pesadas que una distribución normal.

  • Platicúrtica: Más achatada y con colas más ligeras que una distribución normal.

  • Mesocúrtica: Similar a una distribución normal.

El coeficiente de curtosis muestral (\(K_u\)​) también se puede calcular. Próxima clase

Ejemplo Curtosis: 

La rentabilidad de algunos activos financieros puede tener alta curtosis, lo que significa que ocurren eventos extremos (grandes ganancias o pérdidas) con más frecuencia de lo que se esperaría en una distribución normal.

Distribución Mesocúrtica

Distribución Leptocúrtica

Colas más pesadas y pico más alto

Distribución Platicúrtica

Resumen de los Momentos

Momento ¿Qué mide?
Media ( \(\bar{X}\) ) El centro de los datos
Varianza ( \(s^2\) ) La dispersión de los datos
Asimetría ( \(A_s\) ) Si la distribución está sesgada hacia un lado
Curtosis ( \(K_u\) ) El “apuntamiento” y el grosor de las colas